Une équation d’ordre deux avec conditions initiales

Le système. Avec $X={}^t(x,x^{\prime })$, l'équation $x^{\prime \prime }=a{x}^{\prime }+bx$ donne $X^{\prime }=AX$ où $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ b& a\end{array}\right)$ ; ici $a=-5$, $b=-6$, donc $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -6& -5\end{array}\right)$. L'ordre compte : le coefficient de $x$ vient en première colonne.

Éléments propres. $A{}^t(1,-2)={}^t(-2,-6+10)={}^t(-2,4)=-2{}^t(1,-2)$, et $A{}^t(1,-3)={}^t(-3,-6+15)={}^t(-3,9)=-3{}^t(1,-3)$. Les valeurs propres sont $-2$ et $-3$, distinctes : $A$ est diagonalisable.

Solution générale. $X(t)=c_1{\mathrm{e}}^{-2t}{}^t(1,-2)+c_2{\mathrm{e}}^{-3t}{}^t(1,-3)$.

Conditions initiales. $X(0)={}^t(1,0)$ donne $c_1+c_2=1$ et $-2c_1-3c_2=0$. La seconde s'écrit $c_2=-\frac{2}{3}{c}_1$ ; en reportant, $c_1(1-\frac{2}{3})=1$, donc $c_1=3$ et $c_2=-2$. La première coordonnée livre la réponse :

$$x(t)=3{\mathrm{e}}^{-2t}-2{\mathrm{e}}^{-3t}.$$

Vérification. $x(0)=3-2=1$, et $x^{\prime }(t)=-6{\mathrm{e}}^{-2t}+6{\mathrm{e}}^{-3t}$ donne $x^{\prime }(0)=0$.

Le lien avec la première année. L'équation caractéristique de $x^{\prime \prime }+5x^{\prime }+6x=0$ est $r^2+5r+6=0$, de racines $-2$ et $-3$ : ce sont exactement les valeurs propres de $A$. Le même calcul, vu autrement.