Une équation d'ordre deux dont la matrice résiste

Le système. Ici $a=4$ et $b=-4$, donc $$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -4& 4\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ x^{\prime }\end{array}\right),X^{\prime }=AX.$$ Contrôle : la seconde ligne de $AX$ vaut $-4x+4x^{\prime }$, qui est bien $x^{\prime \prime }$.

Une seule valeur propre. $\lambda$ est valeur propre si et seulement si $$\det (A-\lambda I_2)=(-\lambda )(4-\lambda )+4={\lambda }^2-4\lambda +4=(\lambda -2{)}^2$$ est nul, c'est-à-dire $\lambda =2$. Donc $\mathrm{Sp}(A)=\{2\}$.

Non diagonalisable. Si $A$ l'était, elle serait semblable à une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont ses valeurs propres, donc à $2I_2$ ; mais alors $A=P(2I_2)P^{-1}=2I_2$, ce qui est faux (le coefficient en position $(1,2)$ de $A$ vaut $1$). $A$ n'est pas diagonalisable, et la méthode de découplage du cours ne s'applique pas.

Vérification de la forme proposée. Posons $x(t)=(\alpha +\beta t){\mathrm{e}}^{2t}$. En dérivant comme un produit : $$x^{\prime }(t)=\beta {\mathrm{e}}^{2t}+2(\alpha +\beta t){\mathrm{e}}^{2t}=(2\alpha +\beta +2\beta t){\mathrm{e}}^{2t},$$ puis, de la même façon, $$x^{\prime \prime }(t)=2\beta {\mathrm{e}}^{2t}+2(2\alpha +\beta +2\beta t){\mathrm{e}}^{2t}=(4\alpha +4\beta +4\beta t){\mathrm{e}}^{2t}.$$ Comparons au second membre : $$4x^{\prime }-4x=(4(2\alpha +\beta +2\beta t)-4(\alpha +\beta t)){\mathrm{e}}^{2t}=(4\alpha +4\beta +4\beta t){\mathrm{e}}^{2t}.$$ Les deux expressions coïncident : $x$ est bien solution.

Ce qu'il faut retenir. Quand la matrice n'est pas diagonalisable, un facteur polynomial en $t$ apparaît devant l'exponentielle. L'énoncé fournit alors la forme, et l'on se contente de la vérifier.