Une équation d'ordre deux ramenée à un système

Le système. Posons $X={}^t(x,x^{\prime })$. L'équation s'écrit $x^{\prime \prime }=0\cdot x^{\prime }+4x$, donc $a=0$ et $b=4$, et la matrice compagnon est $$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ b& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 4& 0\end{array}\right).$$ Contrôle de l'ordre des coefficients : $AX={}^t(x^{\prime },4x)$, et la seconde entrée doit être $x^{\prime \prime }$ — c'est bien l'équation.

Les valeurs propres. $\det (A-\lambda I_2)=-\lambda \times (-\lambda )-1\times 4={\lambda }^2-4$, nul pour $\lambda =2$ et $\lambda =-2$.

Les vecteurs propres. Pour $\lambda =2$ : $(A-2I_2)X=0$ donne $-2x+y=0$, soit $y=2x$ ; un vecteur propre est ${}^t(1,2)$. Pour $\lambda =-2$ : $2x+y=0$ ; un vecteur propre est ${}^t(1,-2)$.

La solution générale. $$X(t)=c_1{\mathrm{e}}^{2t}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+c_2{\mathrm{e}}^{-2t}\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right).$$

Les conditions initiales. La première coordonnée de $X(0)$ est $x(0)=1$, la seconde est $x^{\prime }(0)=0$ : $$c_1+c_2=1,2c_1-2c_2=0.$$ La seconde donne $c_1=c_2$, d'où $c_1=c_2=\frac{1}{2}$, et en lisant la première coordonnée : $$x(t)=\frac{{\mathrm{e}}^{2t}+{\mathrm{e}}^{-2t}}{2}.$$

Vérification. $x(0)=\frac{1+1}{2}=1$ ; $x^{\prime }(t)={\mathrm{e}}^{2t}-{\mathrm{e}}^{-2t}$, donc $x^{\prime }(0)=0$ ; et $x^{\prime \prime }(t)=2{\mathrm{e}}^{2t}+2{\mathrm{e}}^{-2t}=4x(t)$.