Une matrice non diagonalisable

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 4 — Systèmes différentiels linéaires · Modèles et cas non diagonalisable

Énoncé

Soit $A = (2012)$ . Montrer que $A$ n'est pas diagonalisable. Vérifier que $X (t) = ((α + β t) e^{2 t} β e^{2 t})$ est solution de $X^{'} = A X$ pour tous réels $α, β$ .

Corrigé

Non diagonalisable. $A$ est triangulaire, $Sp (A) = {2}$ , et $(A - 2 I_{2}) X = 0$ s'écrit $y = 0$ : le sous-espace propre est de dimension $1$ , insuffisant pour former une base de $M_{2, 1} (R)$ .

Vérification. Dérivons :

$x_{1}^{'} = β e^{2 t} + 2 (α + β t) e^{2 t}, x_{2}^{'} = 2 β e^{2 t} .$

Et calculons $A X$ :

$A X = (2 (α + β t) e^{2 t} + β e^{2 t} 2 β e^{2 t}) .$

Les deux colonnes coïncident, ligne à ligne. C'est bien une solution.

Ce que l'exercice montre. Quand $A$ n'est pas diagonalisable, la méthode du cours ne s'applique pas et des termes en $t e^{λ t}$ apparaissent. Le programme n'attend pas qu'on sache les trouver — seulement qu'on sache vérifier une solution proposée.

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