Vérifier des vecteurs propres

$$A\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8-2\\ 2+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right),A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-2\\ 1+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right).$$

Les valeurs propres sont $3$ et $2$, distinctes : $A$ est diagonalisable, et

$$X(t)=c_1{\mathrm{e}}^{3t}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)+c_2{\mathrm{e}}^{2t}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),(c_1,c_2)\in {\mathbb{R}}^2.$$

Contrôle par la diagonale. La somme des coefficients diagonaux vaut $4+1=5=3+2$. Les deux valeurs propres trouvées sont bien les seules.