Vérifier des vecteurs propres

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 4 — Systèmes différentiels linéaires · Résolution par diagonalisation

Énoncé

Soit $A = (41 - 2 1)$ . Vérifier que $(21)$ et $(11)$ sont vecteurs propres, puis donner la solution générale de $X^{'} = A X$ .

Corrigé

$A (21) = (8 - 2 2 + 1) = (63) = 3 (21), A (11) = (4 - 2 1 + 1) = (22) = 2 (11) .$

Les valeurs propres sont $3$ et $2$ , distinctes : $A$ est diagonalisable, et

$X (t) = c_{1} e^{3 t} (21) + c_{2} e^{2 t} (11), (c_{1}, c_{2}) \in R^{2} .$

Contrôle par la diagonale. La somme des coefficients diagonaux vaut $4 + 1 = 5 = 3 + 2$ . Les deux valeurs propres trouvées sont bien les seules.

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