Vérifier qu'une fonction est solution

La dérivée. Le vecteur ${}^t(1,3)$ est constant, seule l'exponentielle dépend de $t$ : $$X^{\prime }(t)=2{\mathrm{e}}^{2t}\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)={\mathrm{e}}^{2t}\left(\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right).$$

Le second membre. Le facteur scalaire ${\mathrm{e}}^{2t}$ sort du produit matriciel : $$AX(t)={\mathrm{e}}^{2t}A\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)={\mathrm{e}}^{2t}\left(\begin{array}{c}-1+3\\ -3+9\end{array}\right)={\mathrm{e}}^{2t}\left(\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right).$$

Conclusion. Les deux expressions coïncident pour tout $t$ : $X$ est bien solution de $X^{\prime }=AX$.

Lecture en termes d'éléments propres. Le calcul a montré $$A\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right),$$ donc ${}^t(1,3)$, qui est non nul, est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $\lambda =2$. C'est exactement ce que le cours annonce : les solutions de la forme ${\mathrm{e}}^{\lambda t}V$ correspondent aux couples (valeur propre, vecteur propre), et il n'y en a pas d'autre de cette forme.