Ce qu'on peut ajouter à un équivalent

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 5 — Comparaison, développements limités et suites récurrentes · Comparaison des suites

Énoncé

Montrer que si $u_{n} \sim v_{n}$ et $a_{n} = o (v_{n})$ , alors $u_{n} + a_{n} \sim v_{n}$ . Donner ensuite deux couples de suites équivalentes dont les sommes ne sont pas équivalentes.

Corrigé

Ce qu'on montre. Une règle vraie d'addition, et pourquoi elle ne se généralise pas.

La règle. Supposons $u_{n} \sim v_{n}$ et $a_{n} = o (v_{n})$ , avec $v_{n} \neq = 0$ à partir d'un certain rang. Par définition, $\frac{u _{n}}{v _{n}} ⟶ 1 et \frac{a _{n}}{v _{n}} ⟶ 0.$ Alors $\frac{u _{n} + a _{n}}{v _{n}} = \frac{u _{n}}{v _{n}} + \frac{a _{n}}{v _{n}} ⟶ 1 + 0 = 1,$ la limite d'une somme étant la somme des limites. C'est exactement la définition de $u_{n} + a_{n} \sim v_{n}$ .

Un contre-exemple pour l'addition générale. Posons $u_{n} = n + 1, v_{n} = n, a_{n} = - n, b_{n} = - n .$ On a bien $u_{n} \sim v_{n}$ , car $\frac{n + 1}{n} = 1 + \frac{1}{n} \to 1$ ; et $a_{n} \sim b_{n}$ , le quotient valant constamment $1$ .

Pourtant $u_{n} + a_{n} = (n + 1) - n = 1, v_{n} + b_{n} = n - n = 0.$ La suite $v_{n} + b_{n}$ est nulle : elle ne peut être équivalente à aucune suite (le quotient n'est même pas défini), et en particulier pas à la suite constante $1$ . On n'additionne pas des équivalents.

Où est la différence ? Dans la règle démontrée, la quantité ajoutée est négligeable devant le terme principal $v_{n}$ , elle ne peut donc pas le détruire. Dans le contre-exemple, $a_{n} = - n$ est du même ordre que $v_{n} = n$ : l'addition provoque une compensation exacte, et le terme principal disparaît.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.