Comparer deux suites

Comparaison, développements limités et suites récurrentes · Négligeabilité et pièges de l'équivalence · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $u_{n} = n!$ et $v_{n} = n^{n}$ . Montrer que $u_{n} = o (v_{n})$ .

Écrivons le quotient en séparant le premier facteur :

$\frac{u _{n}}{v _{n}} = \frac{n !}{n ^{n}} = \frac{1}{n} \times \frac{2}{n} \times \dots \times \frac{n}{n} .$

Chacun des $n$ facteurs est inférieur ou égal à $1$ , et le premier vaut $\frac{1}{n}$ . Donc

$0 < \frac{u _{n}}{v _{n}} ⩽ \frac{1}{n} n \to + \infty 0.$

Par encadrement, le quotient tend vers $0$ : $n! = o (n^{n})$ .

Situer dans l'échelle. Le cours donne $q^{n} = o (n!)$ . En joignant les deux :

$n^{α} = o (q^{n}), q^{n} = o (n!), n! = o (n^{n}) .$

Quatre vitesses, rangées.