Des équivalents simples

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 5 — Comparaison, développements limités et suites récurrentes · Équivalents et croissances comparées

Énoncé

Donner un équivalent simple, quand $n \to + \infty$ , de $a_{n} = 2 n^{3} - 5 n + 7$ , $b_{n} = \frac{n + ln n}{3 n ^{2} + 1}$ et $c_{n} = n^{2} + n - n$ .

Corrigé

$a_{n} \sim 2 n^{3}$ : $5 n$ et $7$ sont négligeables devant $n^{3}$ , seul le terme de plus haut degré subsiste.

$b_{n} \sim \frac{1}{3 n}$ : le numérateur est $\sim n$ (car $ln n = o (n)$ ), le dénominateur $\sim 3 n^{2}$ , et le quotient d'équivalents est permis.

$c_{n}$ . Ici la soustraction interdit d'utiliser des équivalents ! On passe par la quantité conjuguée :

$c_{n} = \frac{( n ^{2} + n ) - n ^{2}}{n ^{2} + n + n} = \frac{n}{n ^{2} + n + n} \sim \frac{n}{2 n} = \frac{1}{2} .$

La leçon. $n^{2} + n \sim n$ et $n \sim n$ , mais leur différence n'est pas équivalente à $0$ : elle tend vers $\frac{1}{2}$ . On n'additionne jamais d'équivalents.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.