Deux limites par croissances comparées

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 5 — Comparaison, développements limités et suites récurrentes · Équivalents et croissances comparées

Énoncé

Déterminer les limites de $u_{n} = \frac{n ^{2}}{3 ^{n}}$ et de $v_{n} = \frac{2 ^{n}}{n !}$ quand $n \to + \infty$ .

Corrigé

Pour $u_{n}$ . Le théorème des croissances comparées affirme que $n^{α} = o (q^{n})$ pour tous $α > 0$ et $q > 1$ . Avec $α = 2$ et $q = 3$ : $n^{2} = o (3^{n}), c’est- a ˋ -dire u_{n} = \frac{n ^{2}}{3 ^{n}} ⟶ 0.$

Pour $v_{n}$ . Le même théorème donne $q^{n} = o (n!)$ pour tout $q > 1$ . Avec $q = 2$ : $2^{n} = o (n!), c’est- a ˋ -dire v_{n} = \frac{2 ^{n}}{n !} ⟶ 0.$

La hiérarchie à retenir. Les croissances comparées rangent quatre familles, de la plus lente à la plus rapide : $(ln n)^{β} ≪ n^{α} ≪ q^{n} ≪ n!,$ chaque terme étant négligeable devant le suivant. Les deux limites de l'exercice sont deux maillons consécutifs de cette chaîne.

Un ordre de grandeur. Pour $n = 20$ : $\frac{2 ^{20}}{20 !} \approx \frac{1 0 ^{6}}{2 , 4 \times 1 0 ^{18}} \approx 4 \times 1 0^{- 13}$ . La factorielle l'emporte très vite.

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