Deux limites par croissances comparées

Pour $u_n$. Le théorème des croissances comparées affirme que $n^{\alpha }=o(q^n)$ pour tous $\alpha >0$ et $q>1$. Avec $\alpha =2$ et $q=3$ : $$n^2=o(3^n),\text{c’est-aˋ-dire}{u}_n=\frac{n^2}{3^n}⟶0.$$

Pour $v_n$. Le même théorème donne $q^n=o(n!)$ pour tout $q>1$. Avec $q=2$ : $$2^n=o(n!),\text{c’est-aˋ-dire}{v}_n=\frac{2^n}{n!}⟶0.$$

La hiérarchie à retenir. Les croissances comparées rangent quatre familles, de la plus lente à la plus rapide : $$(\ln n{)}^{\beta }\ll n^{\alpha }\ll q^n\ll n!,$$ chaque terme étant négligeable devant le suivant. Les deux limites de l'exercice sont deux maillons consécutifs de cette chaîne.

Un ordre de grandeur. Pour $n=20$ : $\frac{2^{20}}{20!}\approx \frac{10^6}{2,4\times 10^{18}}\approx 4\times 10^{-13}$. La factorielle l'emporte très vite.