Deux limites par les équivalents usuels

Première limite. C'est exactement l'équivalent usuel du cours : $\ln (1+x)\sim x$ en $0$ signifie, par définition, $$\frac{\ln (1+x)}{x}⟶1(x\to 0).$$ Il n'y a rien à démontrer de plus : la définition de l'équivalence est cette limite.

Seconde limite. Le cours donne ${\mathrm{e}}^u-1\sim u$ quand $u\to 0$, c'est-à-dire $\frac{{\mathrm{e}}^u-1}{u}\to 1$. Posons $u=2x$ : quand $x\to 0$, on a $u\to 0$, donc $$\frac{{\mathrm{e}}^{2x}-1}{2x}⟶1.$$ Il ne reste qu'à rétablir le facteur : $$\frac{{\mathrm{e}}^{2x}-1}{x}=2\times \frac{{\mathrm{e}}^{2x}-1}{2x}⟶2\times 1=2.$$

Le point de vigilance. Il ne s'agit pas de « composer un équivalent », ce qui est interdit, mais d'un changement de variable dans une limite : la quantité $2x$ tend vers $0$, on lui applique la limite connue, puis on ajuste le coefficient. Écrire directement ${\mathrm{e}}^{2x}-1\sim 2x$ est correct, mais c'est ce raisonnement qui le justifie.