Deux points fixes à trouver

Les points fixes. On résout $f(\ell )=\ell$, c'est-à-dire $${\ell }^2-2=\ell ⟺{\ell }^2-\ell -2=0.$$ Cherchons les racines de ce trinôme. Leur somme vaut $1$ et leur produit $-2$ : les entiers $2$ et $-1$ conviennent, et l'on vérifie $$(\ell -2)(\ell +1)={\ell }^2+\ell -2\ell -2={\ell }^2-\ell -2.$$ Les points fixes de $f$ sont donc $\ell =2$ et $\ell =-1$.

Les limites possibles. La fonction $f$ est polynomiale, donc continue sur $\mathbb{R}$ ; en particulier elle est continue en tout point. Le théorème du cours s'applique : si $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$, alors $f(\ell )=\ell$. Les seules limites possibles sont donc $$\ell =2\text{ou}\ell =-1.$$

Ce que cela ne dit pas. Rien n'affirme qu'une telle suite converge, ni laquelle des deux valeurs serait atteinte. Par exemple, avec $u_0=-1$ la suite est constante égale à $-1$ ; avec $u_0=3$, on trouve $u_1=7$, $u_2=47$, et la suite s'échappe vers $+\infty$ sans jamais converger. La détermination des points fixes est un premier pas, jamais une conclusion.