Deux points fixes, un seul atteint

Points fixes. $\ell =\frac{{\ell }^2+2}{3}$ équivaut à ${\ell }^2-3\ell +2=0$, dont les racines sont $1$ et $2$. Il y en a donc deux : le théorème seul ne dira pas laquelle est la limite.

Stabilité de $[0,1]$. $f(x)=\frac{x^2+2}{3}$ est croissante sur $[0,1]$, sa dérivée $\frac{2x}{3}$ y étant positive. Donc $f([0,1])=[f(0),f(1)]=\left[\frac{2}{3},1\right]\subset [0,1]$. Comme $u_0=0\in [0,1]$, une récurrence immédiate donne $u_n\in [0,1]$ pour tout $n$.

Monotonie. $u_1=\frac{2}{3}>0=u_0$. Puisque $f$ est croissante sur l'intervalle stable, la suite est croissante : si $u_n⩽u_{n+1}$, alors $f(u_n)⩽f(u_{n+1})$, c'est-à-dire $u_{n+1}⩽u_{n+2}$.

Convergence. Croissante et majorée par $1$, la suite converge vers un $\ell \in [0,1]$. Comme $f$ est continue, $\ell$ est un point fixe. Or $2\notin [0,1]$ : il reste $\ell =1$.

Contrôle numérique. $0$ ; $0,667$ ; $0,815$ ; $0,888$ ; $0,929$ ; $0,955$ — la montée vers $1$ est lente, et elle ne dépasse jamais.

Le second point fixe. Pour $x>2$, $f(x)-x=\frac{x^2-3x+2}{3}>0$ : une suite partant au-delà de $2$ croît et tend vers $+\infty$. Le point fixe $2$ repousse au lieu d'attirer.

Le point à retenir. C'est l'intervalle stable, et non le calcul des points fixes, qui désigne la limite.