Équivalentes, et pourtant éloignées

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 5 — Comparaison, développements limités et suites récurrentes · Équivalents et croissances comparées

Énoncé

Soient $u_{n} = n^{2} + 3 n$ et $v_{n} = n^{2}$ . Vérifier que $u_{n} \sim v_{n}$ , puis calculer $u_{n} - v_{n}$ et sa limite. Que faut-il en conclure ?

Corrigé

L'équivalence. Par définition, $u_{n} \sim v_{n}$ signifie que le quotient tend vers $1$ . Pour $n ⩾ 1$ , $v_{n} = n^{2} \neq = 0$ et $\frac{u _{n}}{v _{n}} = \frac{n ^{2} + 3 n}{n ^{2}} = 1 + \frac{3}{n} ⟶ 1.$ Donc $u_{n} \sim v_{n}$ .

La différence. $u_{n} - v_{n} = (n^{2} + 3 n) - n^{2} = 3 n ⟶ + \infty.$

La conclusion. Deux suites équivalentes peuvent avoir une différence qui tend vers l'infini. L'équivalence porte sur le quotient, jamais sur l'écart. Dire « $u_{n} \sim v_{n}$ donc $u_{n}$ et $v_{n}$ sont proches » est un contresens : ici elles s'éloignent l'une de l'autre autant qu'on veut.

Ce qui est vrai. Ce qui devient négligeable, c'est l'écart relatif : $\frac{u _{n} - v _{n}}{v _{n}} = \frac{3 n}{n ^{2}} = \frac{3}{n} ⟶ 0.$ Autrement dit, l'écart de $3 n$ est petit devant $n^{2}$ , même s'il est grand dans l'absolu. C'est exactement ce que l'équivalence enregistre.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.