L'écart entre deux logarithmes consécutifs

Réécriture exacte. La différence de deux logarithmes est le logarithme du quotient : $$u_n=\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)=\ln (1+\frac{1}{n}).$$ Cette étape est une identité, pas une approximation : elle est licite sans précaution.

L'équivalent usuel. Le cours donne $\ln (1+x)\sim x$ quand $x\to 0$, c'est-à-dire $\frac{\ln (1+x)}{x}\to 1$. Posons $x_n=\frac{1}{n}$, qui tend vers $0$ et ne s'annule pas. Alors $$\frac{u_n}{1/n}=\frac{\ln (1+x_n)}{x_n}⟶1,$$ ce qui est exactement la définition de $$u_n\sim \frac{1}{n}.$$ Il s'agit d'un changement de variable dans une limite, et non d'une composition d'équivalents : c'est ce qui le rend légitime.

La limite de $n{u}_n$. Par définition de l'équivalence, $\frac{u_n}{1/n}=n{u}_n\to 1$. Donc $$n{u}_n=n\ln (1+\frac{1}{n})⟶1.$$

Contrôle numérique. Pour $n=100$, $\ln (101)-\ln (100)=\ln (1,01)\approx 0,00995$, à comparer à $\frac{1}{100}=0,01$ : l'écart relatif est de l'ordre de $0,5\%$, et il diminue avec $n$.