La méthode de Héron

Positivité. $u_0=2>0$, et si $u_n>0$ alors $u_{n+1}$, somme de deux quantités positives divisée par $2$, est positif. Par récurrence, $u_n>0$ pour tout $n$ : la suite est bien définie.

Minoration. Pour tout $n$, $$u_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{u_n^2-2\sqrt{2}{u}_n+2}{2u_n}=\frac{{\left(u_n-\sqrt{2}\right)}^2}{2u_n}⩾0.$$ Donc $u_n⩾\sqrt{2}$ pour tout $n⩾1$ ; et $u_0=2⩾\sqrt{2}$ également. C'est l'identité remarquable au numérateur qui fait tout le travail.

Décroissance. $$u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+\frac{2}{u_n}}{2}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}⩽0,$$ puisque $u_n^2⩾2$ d'après l'étape précédente.

Convergence. $(u_n)$ est décroissante et minorée par $\sqrt{2}$ : elle converge vers un réel $\ell ⩾\sqrt{2}>0$.

Identification. $f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)$ est continue en $\ell$, car $\ell \ne 0$. Donc $\ell =\frac{1}{2}\left(\ell +\frac{2}{\ell }\right)$, soit $2{\ell }^2={\ell }^2+2$, c'est-à-dire ${\ell }^2=2$. Comme $\ell >0$, $\ell =\sqrt{2}$.

Contrôle numérique. $2$ ; $1,5$ ; $1,416667$ ; $1,4142157$, à comparer à $\sqrt{2}=1,4142136$. Le nombre de décimales exactes double à chaque pas.

Le point à retenir. On minore par le point fixe avant d'étudier la monotonie : c'est la minoration qui donne le signe de $u_{n+1}-u_n$.