La racine carrée et sa tangente

Le développement. $\sqrt{1+x}=(1+x{)}^{\alpha }$ avec $\alpha =\frac{1}{2}$. Le cours donne $$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^2+x^2\epsilon (x).$$ Calculons le coefficient d'ordre $2$ : $$\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}=\frac{\frac{1}{2}\times \left(\frac{1}{2}-1\right)}{2}=\frac{\frac{1}{2}\times \left(-\frac{1}{2}\right)}{2}=\frac{-\frac{1}{4}}{2}=-\frac{1}{8}.$$ Donc $$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+x^2\epsilon (x),\epsilon (x)\underset{x\to 0}{\to }0.$$

La tangente. D'après la formule de Taylor-Young, $a_0=f(0)$ et $a_1=f^{\prime }(0)$ : la tangente en $0$ a pour équation $$y=a_0+a_{1}x=1+\frac{x}{2}.$$

La position. Le théorème sur l'allure locale compare le graphe à sa tangente au moyen du signe de $a_2$. La différence vaut $$f(x)-(1+\frac{x}{2})=x^2\left(-\frac{1}{8}+\epsilon (x)\right),$$ où $x^2⩾0$ et où la parenthèse tend vers $-\frac{1}{8}<0$ : elle est donc strictement négative au voisinage de $0$. Le graphe de $\sqrt{1+x}$ est au-dessous de sa tangente au voisinage de $0$.

Contrôle numérique. En $x=0,2$ : $\sqrt{1,2}\approx 1,0954$, contre $1+0,1=1,1$ pour la tangente. C'est bien plus petit.