Le terme qui domine

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 5 — Comparaison, développements limités et suites récurrentes · Équivalents et croissances comparées

Énoncé

Donner un équivalent simple, quand $n \to + \infty$ , de $a_{n} = 5 n^{4} + n^{2} ln n$ et de $b_{n} = 2^{n} + n^{10}$ .

Corrigé

Le principe. Une somme est équivalente à celui de ses termes qui domine tous les autres — à condition de le prouver, c'est-à-dire de montrer que les autres lui sont négligeables. On utilise alors la règle : si $a_{n} = o (v_{n})$ , alors $v_{n} + a_{n} \sim v_{n}$ .

Pour $a_{n}$ . Comparons $n^{2} ln n$ à $n^{4}$ : $\frac{n ^{2} ln n}{n ^{4}} = \frac{ln n}{n ^{2}} ⟶ 0$ par croissances comparées ( $ln n = o (n^{α})$ pour tout $α > 0$ , ici $α = 2$ ). Donc $n^{2} ln n = o (n^{4})$ , et a fortiori $= o (5 n^{4})$ , d'où $a_{n} \sim 5 n^{4} .$

Pour $b_{n}$ . Comparons $n^{10}$ à $2^{n}$ : $\frac{n ^{10}}{2 ^{n}} ⟶ 0$ par croissances comparées ( $n^{α} = o (q^{n})$ pour $q > 1$ , ici $q = 2$ et $α = 10$ ). Donc $n^{10} = o (2^{n})$ et $b_{n} \sim 2^{n} .$

Le piège à connaître. L'exposant $10$ impressionne, mais il ne pèse rien : à $n = 100$ , $n^{10} = 1 0^{20}$ tandis que $2^{100} \approx 1, 3 \times 1 0^{30}$ . Une exponentielle de base $> 1$ finit toujours par écraser n'importe quelle puissance.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.