Les trois développements du cours

Les deux premiers, tels que le cours les donne. $${\mathrm{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+x^2\epsilon (x),\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+x^2\epsilon (x),$$ avec $\epsilon (x)\to 0$ quand $x\to 0$. Noter que $\ln (1+x)$ n'a pas de terme constant, puisque $\ln 1=0$.

Le troisième, par la formule générale. Avec $\alpha =3$ dans $(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^2+x^2\epsilon (x)$ : $$\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}=\frac{3\times 2}{2}=3,\text{donc}(1+x{)}^3=1+3x+3x^2+x^2\epsilon (x).$$

La vérification. Développons le cube exactement : $$(1+x{)}^3=1+3x+3x^2+x^3.$$ Les trois premiers termes sont bien ceux annoncés, et le reste $x^3$ s'écrit $x^2\times x$, c'est-à-dire $x^2\epsilon (x)$ avec $\epsilon (x)=x$, qui tend bien vers $0$. Les deux calculs concordent.

Ce que la vérification illustre. Un développement limité d'ordre $2$ ne prétend pas être exact : il isole les trois premiers termes et range tout le reste dans $x^2\epsilon (x)$. Ici la fonction était un polynôme, donc le « reste » est visible ; en général il ne l'est pas, et l'unicité du développement garantit qu'on ne peut de toute façon pas trouver d'autres coefficients.