Position par rapport à la tangente

Le développement de $\ln (1+x)$ à l'ordre $2$ donne

$$f(x)=(x-\frac{x^2}{2}+x^2\epsilon (x))-x+\frac{x^2}{2}=x^2\epsilon (x),$$

avec $\epsilon (x)\to 0$. Le développement d'ordre $2$ de $f$ est donc nul : $a_0=a_1=a_2=0$.

Conclusion. L'ordre $2$ ne suffit pas à trancher : $f(x)/x^2\to 0$, mais on ne sait pas de quel côté. Le programme s'arrêtant à l'ordre $2$, la question du signe reste ouverte par cette méthode. On la tranche par la dérivée : $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{x^2}{1+x}⩾0$ sur $]-1,+\infty [$ et $f(0)=0$, donc $f(x)$ est du signe de $x$ au voisinage de $0$.

Ce qu'il faut retenir. Un développement limité tranche le signe seulement si le premier coefficient non nul apparaît à l'ordre atteint. Ici tout s'annule, et il faudrait l'ordre $3$ — hors programme.