Premiers termes et point fixe

Les premiers termes. $$u_1=\frac{0+4}{3}=\frac{4}{3}\approx 1,33,u_2=\frac{\frac{4}{3}+4}{3}=\frac{\frac{16}{3}}{3}=\frac{16}{9}\approx 1,78,$$ $$u_3=\frac{\frac{16}{9}+4}{3}=\frac{\frac{52}{9}}{3}=\frac{52}{27}\approx 1,93.$$ Les valeurs croissent et semblent s'approcher de $2$.

Le point fixe. $f(\ell )=\ell$ s'écrit $$\frac{\ell +4}{3}=\ell ⟺\ell +4=3\ell ⟺2\ell =4⟺\ell =2.$$ Il y a donc un unique point fixe, $\ell =2$, ce que les calculs laissaient présager.

Ce que le théorème permet d'affirmer — et pas davantage. Le théorème du cours dit : si $(u_n)$ converge, alors sa limite est un point fixe de $f$ (qui est continue sur $\mathbb{R}$). Ici, la seule limite possible est donc $2$.

Mais il ne prouve pas que la suite converge. Pour l'établir, il faudrait ajouter un argument : par exemple constater que $f$ est croissante et que $u_1>u_0$, donc que la suite est croissante, puis qu'elle est majorée par $2$ — car si $x⩽2$ alors $f(x)=\frac{x+4}{3}⩽\frac{6}{3}=2$. Croissante et majorée, elle converge, et sa limite ne peut être que $2$.