Quand le critère de position ne conclut pas

Le développement et la tangente. Le cours donne $$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^2+x^2\epsilon (x),$$ donc $a_0=1$, $a_1=\alpha$ et $a_2=\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}$. La tangente en $0$ a pour équation $y=1+\alpha x$.

Le signe de $a_2$. Il est celui du produit $\alpha (\alpha -1)$, le facteur $\frac{1}{2}$ étant positif. Ce produit s'annule en $\alpha =0$ et $\alpha =1$, et il est du signe d'un trinôme de racines $0$ et $1$ : positif à l'extérieur, négatif à l'intérieur.

• Si $\alpha <0$ ou $\alpha >1$ : $a_2>0$, le graphe est au-dessus de sa tangente au voisinage de $0$. (Par exemple $\alpha =2$ : $(1+x{)}^2=1+2x+x^2$, et $x^2⩾0$.)
• Si $0<\alpha <1$ : $a_2<0$, le graphe est au-dessous. (Par exemple $\alpha =\frac{1}{2}$, la racine carrée.)

Les deux cas où le théorème est muet. Il exige $a_2\ne 0$ ; il ne dit rien si $\alpha =0$ ou $\alpha =1$. Ici, on conclut néanmoins directement, sans le théorème :

• Si $\alpha =0$ : $f(x)=1$ pour tout $x$, et la tangente est $y=1$. Le graphe est sa tangente : ni au-dessus, ni au-dessous.
• Si $\alpha =1$ : $f(x)=1+x$, et la tangente est $y=1+x$. Même conclusion.

Ce que l'exercice enseigne. Un coefficient $a_2$ nul n'est pas un échec du calcul, c'est une information : le graphe colle à sa tangente à l'ordre $2$. Le théorème ne tranche alors pas, et il faut examiner la fonction elle-même — ce qui est ici immédiat, mais ne l'est pas toujours.