Un développement ailleurs qu'en zéro

La méthode. Le cours ne fournit de développements tout faits qu'en $0$ ; ici $x_0=1$, on emploie donc la formule de Taylor-Young : $$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2}(x-x_0{)}^2+(x-x_0{)}^2\epsilon (x).$$ La fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\left]0,+\infty \right[$, qui contient $1$ : la formule s'applique.

Les trois valeurs. $$f(x)=\frac{1}{x},f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2},f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}.$$ En $x_0=1$ : $f(1)=1$, $f^{\prime }(1)=-1$, $f^{\prime \prime }(1)=2$, donc $$a_0=1,a_1=-1,a_2=\frac{2}{2}=1.$$

Le développement. $$\frac{1}{x}=1-(x-1)+(x-1{)}^2+(x-1{)}^2\epsilon (x),\epsilon (x)\underset{x\to 1}{\to }0.$$

La tangente et la position. La tangente en $1$ a pour équation $y=1-(x-1)=2-x$. La différence $$\frac{1}{x}-(2-x)=(x-1{)}^2(1+\epsilon (x))$$ est le produit de $(x-1{)}^2⩾0$ par une quantité qui tend vers $1>0$ : elle est positive au voisinage de $1$. Le graphe est donc au-dessus de sa tangente.

Contrôle numérique. En $x=1,2$ : $\frac{1}{1,2}\approx 0,8333$, contre $2-1,2=0,8$ pour la tangente. C'est bien plus grand.