Un développement limité et une tangente

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 5 — Comparaison, développements limités et suites récurrentes · Développements limités et allure locale

Énoncé

Donner le développement limité d'ordre $2$ en $0$ de $f (x) = e^{x}$ , puis l'équation de la tangente en $0$ et la position du graphe par rapport à elle.

Corrigé

Développement. $e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + x^{2} ε (x)$ .

Tangente. Les deux premiers termes donnent $y = 1 + x$ . On le retrouve par la formule usuelle : $f (0) = 1$ et $f^{'} (0) = e^{0} = 1$ .

Position. $a_{2} = \frac{1}{2} > 0$ : le graphe est au-dessus de sa tangente au voisinage de $0$ .

Vérification globale. On sait qu'en réalité $e^{x} ⩾ 1 + x$ pour tout réel $x$ — l'exponentielle est convexe. Le développement limité ne donne l'information qu'au voisinage de $0$ , mais il la donne sans étude de fonction.

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