Un équivalent qui donne une limite

Comparaison, développements limités et suites récurrentes · Équivalents et croissances comparées · niveau 2

Énoncé

Déterminer la limite de $w_{n} = n (e^{1/ n} - 1)$ .

Corrigé

Posons $x = \frac{1}{n}$ , qui tend vers $0$ . L'équivalent usuel $e^{x} - 1 \sim x$ donne

$e^{1/ n} - 1 \sim \frac{1}{n}, donc w_{n} = n (e^{1/ n} - 1) \sim n \times \frac{1}{n} = 1.$

Donc $w_{n} \to 1$ .

Contrôle numérique. $n = 10$ donne $w_{n} \approx 1, 0517$ , $n = 100$ donne $1, 00502$ , $n = 1000$ donne $1, 00050$ . La convergence est nette.

Autre lecture. $w_{n}$ est le taux d'accroissement de $exp$ entre $0$ et $\frac{1}{n}$ : sa limite est $exp^{'} (0) = 1$ . Les deux chemins donnent le même résultat, et c'est un bon réflexe de vérification.

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