Un point fixe qui n'attire pas

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 5 — Comparaison, développements limités et suites récurrentes · Suites récurrentes

Énoncé

Soit $f (x) = 2 x - 1$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Déterminer le point fixe, puis étudier la suite selon $u_{0}$ .

Corrigé

Point fixe. $2 ℓ - 1 = ℓ$ donne $ℓ = 1$ .

L'écart. Posons $v_{n} = u_{n} - 1$ . Alors $v_{n + 1} = 2 u_{n} - 1 - 1 = 2 (u_{n} - 1) = 2 v_{n}$ , donc $v_{n} = 2^{n} (u_{0} - 1)$ et

$u_{n} = 1 + 2^{n} (u_{0} - 1) .$

Discussion.

Si $u_{0} = 1$ , la suite est constante égale à $1$ .
Si $u_{0} > 1$ , elle tend vers $+ \infty$ .
Si $u_{0} < 1$ , elle tend vers $- \infty$ .

La morale. Un point fixe n'attire pas nécessairement. Ici la suite ne converge que si elle démarre exactement sur le point fixe. La différence avec l'exercice 6 tient au coefficient : $\frac{1}{2}$ contracte les écarts, $2$ les dilate.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.