Un point fixe qui n'attire rien

Les points fixes. $f(\ell )=\ell$ s'écrit ${\ell }^2=\ell$, soit $\ell (\ell -1)=0$ : les points fixes sont $0$ et $1$. La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc le théorème du cours s'applique à toute suite convergente construite sur elle.

Le cas $u_0=2$. Montrons par récurrence que $u_n=2^{2^n}$. Initialisation : $u_0=2=2^{2^0}$ puisque $2^0=1$. Hérédité : si $u_n=2^{2^n}$, alors $$u_{n+1}=u_n^2={\left(2^{2^n}\right)}^2=2^{2^n\times 2}=2^{2^{n+1}}.$$

Comme $2^n\to +\infty$ et que $x\mapsto 2^x$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$, on obtient $u_n\to +\infty$. La suite diverge, alors même que $f$ possède deux points fixes.

Une variante plus courte : $u_0=2>1$ et, si $u_n>1$, alors $u_{n+1}=u_n^2>u_n>1$. La suite est croissante et strictement supérieure à $1$ ; si elle convergeait, sa limite $\ell ⩾2$ serait un point fixe, or ni $0$ ni $1$ ne convient. Elle ne converge donc pas, et étant croissante elle tend vers $+\infty$.

Ce qu'il faut en conclure. Le théorème dit : si la suite converge, alors sa limite est un point fixe. Il ne dit rien de l'existence de la limite. L'existence de points fixes n'entraîne aucune convergence — ici $0$ et $1$ existent, et la suite s'en va à l'infini.

Complément. Le sort de la suite dépend entièrement de $u_0$ : si $|u_0|<1$, la suite tend vers $0$ ; si $|u_0|=1$, elle est constante à partir du rang $1$ ; si $|u_0|>1$, elle tend vers $+\infty$. Un même point fixe peut donc attirer certaines suites et en repousser d'autres.