Un quotient de logarithmes

L'obstacle. Numérateur et dénominateur tendent tous deux vers $+\infty$ : c'est une forme indéterminée. On ne peut pas non plus « remplacer $n^2+n$ par $n^2$ à l'intérieur du logarithme » sous prétexte que $n^2+n\sim n^2$ : on ne compose pas une équivalence par $\ln$. Il faut transformer l'écriture.

Transformation du numérateur. Factorisons $n^2$ à l'intérieur, ce qui est une identité exacte et non une approximation : $$\ln (n^2+n)=\ln \left(n^2(1+\frac{1}{n})\right)=2\ln n+\ln (1+\frac{1}{n}).$$

Le dénominateur. $\ln (n^3)=3\ln n$.

Le quotient. Pour $n⩾2$, $\ln n\ne 0$ et $$u_n=\frac{2\ln n+\ln (1+\frac{1}{n})}{3\ln n}=\frac{2}{3}+\frac{\ln (1+\frac{1}{n})}{3\ln n}.$$

La limite. Quand $n\to +\infty$, $\frac{1}{n}\to 0$ donc $\ln (1+\frac{1}{n})\to \ln 1=0$ par continuité du logarithme ; et $3\ln n\to +\infty$. Le second terme est donc le quotient d'une quantité qui tend vers $0$ par une quantité qui tend vers $+\infty$ : il tend vers $0$. Finalement $$u_n⟶\frac{2}{3}.$$

Ce qu'il faut retenir. Le bon geste devant un logarithme est de factoriser le terme dominant, pas de remplacer par un équivalent. La factorisation est une égalité ; l'équivalence, elle, ne passe pas au logarithme.