mathématiques appliquées (ECG 2e année) · Chapitre 5 · Exercice d'entraînement

Une convergence à vitesse géométrique

Comparaison, développements limités et suites récurrentes · Suites récurrentes · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac{u_n+3}{u_n+1}$. Montrer que $[1,2]$ est stable, que $\sqrt{3}$ en est le seul point fixe, puis que $|u_n-\sqrt{3}|⩽{\left(\frac{1}{2}\right)}^n|u_0-\sqrt{3}|$. Conclure.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.