Une convergence à vitesse géométrique

La fonction et ses points fixes. Posons $f(x)=\frac{x+3}{x+1}$, définie et continue sur $[1,2]$. Un point fixe vérifie $$\ell =\frac{\ell +3}{\ell +1}⟺\ell (\ell +1)=\ell +3⟺{\ell }^2=3,$$ soit $\ell =\sqrt{3}$ ou $\ell =-\sqrt{3}$. Seul $\sqrt{3}\approx 1,732$ appartient à $[1,2]$.

Stabilité de $[1,2]$. Dérivons : $$f^{\prime }(x)=\frac{(x+1)-(x+3)}{(x+1{)}^2}=\frac{-2}{(x+1{)}^2}<0.$$ $f$ est décroissante sur $[1,2]$, donc $f([1,2])=[f(2),f(1)]$. Or $f(2)=\frac{5}{3}\approx 1,67$ et $f(1)=\frac{4}{2}=2$. Ainsi $f([1,2])=\left[\frac{5}{3},2\right]\subset [1,2]$. Comme $u_0=1\in [1,2]$, tous les $u_n$ sont dans $[1,2]$.

Majoration de la dérivée. Pour $x\in [1,2]$, $(x+1{)}^2\in [4,9]$, donc $$|f^{\prime }(x)|=\frac{2}{(x+1{)}^2}⩽\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$

L'inégalité de récurrence. L'inégalité des accroissements finis, appliquée à $f$ sur $[1,2]$ entre $u_n$ et $\sqrt{3}$ — tous deux dans $[1,2]$ — donne $$|u_{n+1}-\sqrt{3}|=|f(u_n)-f(\sqrt{3})|⩽\frac{1}{2}|u_n-\sqrt{3}|.$$ Une récurrence immédiate en déduit $$|u_n-\sqrt{3}|⩽{\left(\frac{1}{2}\right)}^n|u_0-\sqrt{3}|.$$

Conclusion. Comme $0<\frac{1}{2}<1$, le majorant tend vers $0$, donc $|u_n-\sqrt{3}|\to 0$, c'est-à-dire $u_n\to \sqrt{3}$.

Ce que cette méthode apporte. La suite n'est pas monotone ($f$ est décroissante, donc les termes oscillent autour de $\sqrt{3}$) : l'argument « croissante et majorée » ne s'applique pas. La contraction, elle, ne demande aucune monotonie et fournit en prime la vitesse : l'erreur est divisée par au moins $2$ à chaque pas.