Une équivalence à ne pas composer

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 5 — Comparaison, développements limités et suites récurrentes · Négligeabilité et pièges de l'équivalence

Énoncé

Soit $u_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ . Vérifier que $u_{n} \sim 1$ . A-t-on $ln (u_{n}) \sim ln (1)$ ? Que vaut réellement $ln (u_{n})$ ?

Corrigé

$u_{n} \sim 1$ : le quotient $u_{n} /1 = 1 + \frac{1}{n} \to 1$ .

La composition échoue. $ln (1) = 0$ , et « $ln (u_{n}) \sim 0$ » n'a même pas de sens : l'équivalence exige une suite non nulle au dénominateur. La question est donc mal posée — et c'est le piège.

La vraie valeur. $ln (u_{n}) = ln (1 + \frac{1}{n})$ , et l'équivalent usuel $ln (1 + x) \sim x$ en $0$ donne, avec $x = \frac{1}{n} \to 0$ :

$ln (u_{n}) \sim \frac{1}{n} .$

La leçon. On ne compose jamais une équivalence par $ln$ . En revanche, on peut utiliser l'équivalent usuel $ln (1 + x) \sim x$ , à condition que la quantité qui joue le rôle de $x$ tende vers $0$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.