Une forme indéterminée levée par deux développements

Pourquoi les équivalents échouent. On a ${\mathrm{e}}^x-1\sim x$ et $\ln (1+x)\sim x$ : les deux différences sont des formes « $x-x$ », et l'on n'a pas le droit de soustraire des équivalents. Il faut un ordre de plus.

Le numérateur. ${\mathrm{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+x^2{\epsilon }_1(x)$, donc $${\mathrm{e}}^x-1-x=x^2\left(\frac{1}{2}+{\epsilon }_1(x)\right).$$

Le dénominateur. $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+x^2{\epsilon }_2(x)$, donc $$\ln (1+x)-x=x^2\left(-\frac{1}{2}+{\epsilon }_2(x)\right).$$

Le quotient. Pour $x\ne 0$ voisin de $0$, le facteur $x^2$ se simplifie : $$\frac{{\mathrm{e}}^x-1-x}{\ln (1+x)-x}=\frac{\frac{1}{2}+{\epsilon }_1(x)}{-\frac{1}{2}+{\epsilon }_2(x)}\underset{x\to 0}{\to }\frac{1/2}{-1/2}=-1.$$ Le dénominateur ne s'annule pas au voisinage de $0$, puisque $-\frac{1}{2}+{\epsilon }_2(x)\to -\frac{1}{2}\ne 0$ : la division est licite.

Contrôle numérique. En $x=0,01$, le numérateur vaut $5,017\times 10^{-5}$, le dénominateur $-4,967\times 10^{-5}$, et leur rapport $-1,0100$.

Le point à retenir. Quand une soustraction efface le premier terme, on descend d'un ordre : c'est le premier coefficient non nul de chaque développement qui décide de la limite.