Une limite obtenue par un seul développement

La forme indéterminée. Quand $x\to 0$, le numérateur tend vers $1-1-0=0$ et le dénominateur aussi : c'est une forme $\frac{0}{0}$. Le développement limité d'ordre $2$ est exactement l'outil qui la lève, puisque le numérateur est ce qui reste après avoir retiré les termes d'ordre $0$ et $1$.

Le développement. Avec $\alpha =\frac{1}{3}$, le cours donne $$(1+x{)}^{1/3}=1+\frac{x}{3}+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^2+x^2\epsilon (x),$$ et le coefficient d'ordre $2$ vaut $$\frac{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}-1\right)}{2}=\frac{\frac{1}{3}\times \left(-\frac{2}{3}\right)}{2}=\frac{-\frac{2}{9}}{2}=-\frac{1}{9}.$$ Donc $$(1+x{)}^{1/3}=1+\frac{x}{3}-\frac{x^2}{9}+x^2\epsilon (x).$$

Le calcul. En retranchant $1+\frac{x}{3}$ des deux membres : $$(1+x{)}^{1/3}-1-\frac{x}{3}=-\frac{x^2}{9}+x^2\epsilon (x)=x^2\left(-\frac{1}{9}+\epsilon (x)\right).$$ En divisant par $x^2$, non nul pour $x\ne 0$ : $$\frac{(1+x{)}^{1/3}-1-\frac{x}{3}}{x^2}=-\frac{1}{9}+\epsilon (x)⟶-\frac{1}{9}.$$

Lecture. La limite cherchée n'est autre que le coefficient $a_2$ du développement. Cela vaut en général : le rapport $\frac{f(x)-a_0-a_{1}x}{x^2}$ tend vers $a_2$, et c'est une conséquence directe de l'unicité du développement limité.