Une limite par croissances comparées

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 5 — Comparaison, développements limités et suites récurrentes · Équivalents et croissances comparées

Énoncé

Déterminer la limite de $u_{n} = \frac{n ^{10}}{2 ^{n}}$ et de $v_{n} = \frac{( ln n ) ^{3}}{n}$ .

Corrigé

$u_{n} \to 0$ : par croissances comparées, $n^{α} = o (q^{n})$ dès que $q > 1$ , ici avec $α = 10$ et $q = 2$ . L'exposant $10$ n'y change rien — l'exponentielle l'emporte toujours, seulement plus tard.

$v_{n} \to 0$ : de même, $(ln n)^{β} = o (n^{α})$ pour tous $α, β > 0$ , ici $β = 3$ et $α = \frac{1}{2}$ .

Contrôle numérique. Pour $n = 100$ : $u_{n} \approx 7, 9 \times 1 0^{- 11}$ et $v_{n} \approx 9, 8$ . La seconde suite décroît, mais très lentement : elle vaut encore $1, 32$ pour $n = 1 0^{7}$ , et ne passe sous $1$ qu'aux alentours de $n \approx 2, 4 \times 1 0^{7}$ . « Négligeable » est une affirmation sur la limite, jamais sur une valeur.

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