Une puissance dont l'exposant grandit

Ramener les deux suites à une même écriture. Pour $n⩾1$, $n>0$, donc $n^{\ln n}={\mathrm{e}}^{\ln n\times \ln n}={\mathrm{e}}^{(\ln n{)}^2}$. De même $2^n={\mathrm{e}}^{n\ln 2}$. Cette réécriture est le geste décisif : elle ramène la comparaison de deux puissances à celle de deux exposants.

Le quotient. $$\frac{u_n}{v_n}=\frac{{\mathrm{e}}^{(\ln n{)}^2}}{{\mathrm{e}}^{n\ln 2}}={\mathrm{e}}^{(\ln n{)}^2-n\ln 2}.$$

L'exposant tend vers $-\infty$. Factorisons $n$, qui est le terme dominant présumé : $$(\ln n{)}^2-n\ln 2=n\left(\frac{(\ln n{)}^2}{n}-\ln 2\right).$$ Le théorème des croissances comparées donne $(\ln n{)}^{\beta }=o(n^{\alpha })$ pour tous $\alpha ,\beta >0$ ; avec $\beta =2$ et $\alpha =1$, $$\frac{(\ln n{)}^2}{n}⟶0.$$ La parenthèse tend donc vers $-\ln 2<0$, et comme $n\to +\infty$, le produit tend vers $-\infty$.

Conclusion. Par composition avec l'exponentielle, qui tend vers $0$ en $-\infty$ : $$\frac{u_n}{v_n}⟶0,\text{c’est-aˋ-dire}{n}^{\ln n}=o\left(2^n\right).$$

Le point délicat. L'intuition hésite : l'exposant $\ln n$ de $u_n$ grandit, ce qui semble redoutable. Mais il grandit trop lentement — $(\ln n{)}^2$ reste négligeable devant $n$. Comparer des puissances se fait toujours sur les exposants, après passage à l'exponentielle.