Une puissance dont l'exposant varie

Pourquoi on ne conclut pas directement. On a bien $1+\frac{2}{n}\sim 1$, mais l'exposant $n$ dépend du rang : on n'élève jamais un équivalent à une puissance variable, et l'on ne compose pas un équivalent par l'exponentielle. Il faut passer par la forme exponentielle.

Mise en forme. Comme $1+\frac{2}{n}>0$, $$u_n=\exp \left(n\ln \left(1+\frac{2}{n}\right)\right).$$

L'exposant. Posons $x_n=\frac{2}{n}$, qui tend vers $0$. L'équivalent usuel $\ln (1+x)\sim x$ en $0$ donne $\ln \left(1+\frac{2}{n}\right)\sim \frac{2}{n}$, donc $$n\ln \left(1+\frac{2}{n}\right)\sim n\times \frac{2}{n}=2.$$ Être équivalent à la constante non nulle $2$, c'est tendre vers $2$.

Conclusion. Par continuité de l'exponentielle, $u_n\to {\mathrm{e}}^2\approx 7,389$.

Contrôle numérique. $n=100$ donne $1,02^{100}\approx 7,2446$ ; $n=1000$ donne $\approx 7,3743$. La convergence est lente, et elle se fait par en dessous.

Le point à retenir. Toute puissance à exposant variable se traite en écrivant $a^b={\mathrm{e}}^{b\ln a}$. On travaille alors sur l'exposant, où les équivalents sont enfin permis.