Une suite croissante vers deux

La fonction. Posons $f(x)=\frac{3x}{1+x}$, définie et continue sur $[0,2]$ (le dénominateur y vaut au moins $1$).

L'intervalle $[0,2]$ est stable. Pour $x\in [0,2]$, $f(x)⩾0$ car numérateur et dénominateur sont positifs ; et $$f(x)⩽2⟺3x⩽2(1+x)⟺x⩽2,$$ l'équivalence étant licite car $1+x>0$. Donc $f([0,2])\subset [0,2]$. Comme $u_0=1\in [0,2]$, une récurrence immédiate montre que $(u_n)$ est bien définie et que $u_n\in [0,2]$ pour tout $n$ : la suite est majorée par $2$.

$f$ est croissante. Sur $[0,2]$, $$f^{\prime }(x)=\frac{3(1+x)-3x}{(1+x{)}^2}=\frac{3}{(1+x{)}^2}>0.$$

La suite est croissante. $f$ étant croissante sur un intervalle stable contenant $u_0$, la suite est monotone, et le sens se lit sur le premier pas : $$u_1=\frac{3\times 1}{1+1}=\frac{3}{2}>1=u_0.$$ Donc $(u_n)$ est croissante. (Récurrence : si $u_n⩽u_{n+1}$, alors $f(u_n)⩽f(u_{n+1})$, c'est-à-dire $u_{n+1}⩽u_{n+2}$.)

La limite. Croissante et majorée par $2$, la suite converge vers un réel $\ell ⩽2$, et $\ell ⩾u_0=1$. Comme $f$ est continue en $\ell$, la limite est un point fixe : $$\ell =\frac{3\ell }{1+\ell }⟺\ell (1+\ell )=3\ell ⟺{\ell }^2-2\ell =0⟺\ell \in \{0,2\}.$$ Seul $2$ appartient à $[1,2]$, donc $u_n\to 2$.

Le point délicat. Le théorème du point fixe n'aurait rien prouvé seul : ce sont la croissance et la majoration qui donnent l'existence de la limite, et le point fixe qui l'identifie.