Une suite décroissante vers trois

La fonction. Posons $f(x)=\sqrt{x+6}$, définie, continue et croissante sur $[3,+\infty [$ (la racine carrée est croissante, et $x\mapsto x+6$ aussi).

L'intervalle $[3,+\infty [$ est stable. Si $x⩾3$, alors $x+6⩾9$, donc $f(x)=\sqrt{x+6}⩾3$. Comme $u_0=10⩾3$, une récurrence donne $u_n⩾3$ pour tout $n$ : la suite est bien définie (le radicande reste positif) et minorée par $3$.

La suite est décroissante. $f$ est croissante sur un intervalle stable contenant $u_0$, donc $(u_n)$ est monotone, et le sens se lit sur le premier pas : $$u_1=\sqrt{10+6}=\sqrt{16}=4<10=u_0.$$ Donc $(u_n)$ est décroissante. (Récurrence : si $u_{n+1}⩽u_n$, alors $f(u_{n+1})⩽f(u_n)$, c'est-à-dire $u_{n+2}⩽u_{n+1}$.)

La limite. Décroissante et minorée par $3$, la suite converge vers un réel $\ell ⩾3$. La fonction $f$ étant continue en $\ell$, la limite est un point fixe : $$\ell =\sqrt{\ell +6}⟹{\ell }^2=\ell +6⟹{\ell }^2-\ell -6=0.$$ Ce trinôme a pour racines $3$ et $-2$ (leur somme vaut $1$ et leur produit $-6$). Comme $\ell ⩾3$, la seule possibilité est $$u_n⟶3.$$

Contrôle. $u_1=4$, $u_2=\sqrt{10}\approx 3,162$, $u_3\approx \sqrt{9,162}\approx 3,027$ : la décroissance vers $3$ se voit dès les premiers termes.