Une suite récurrente croissante

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 5 — Comparaison, développements limités et suites récurrentes · Suites récurrentes

Énoncé

Soit $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 2$ . Montrer que $(u_{n})$ est croissante et majorée par $2$ , puis déterminer sa limite.

Corrigé

Stabilité. $f (x) = x + 2$ est définie et croissante sur $[0, 2]$ , et $f ([0, 2]) = [2, 2] \subset [0, 2]$ : l'intervalle est stable, tous les $u_{n}$ y sont.

Croissance. $u_{1} = 2 \approx 1, 414 > 0 = u_{0}$ . Comme $f$ est croissante, la suite est croissante (une récurrence immédiate : si $u_{n} ⩽ u_{n + 1}$ alors $f (u_{n}) ⩽ f (u_{n + 1})$ ).

Majoration. Elle est majorée par $2$ , puisque $[0, 2]$ est stable.

Limite. Croissante et majorée, elle converge vers un réel $ℓ$ . La fonction $f$ étant continue, $ℓ$ est un point fixe : $ℓ + 2 = ℓ$ , donc $ℓ^{2} - ℓ - 2 = 0$ , soit $(ℓ - 2) (ℓ + 1) = 0$ . Comme $ℓ ⩾ 0$ , on a $ℓ = 2$ .

Contrôle. $u_{1} \approx 1, 414$ , $u_{2} \approx 1, 848$ , $u_{3} \approx 1, 962$ , $u_{4} \approx 1, 990$ : la convergence vers $2$ se voit.

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