Une suite récurrente décroissante

Comparaison, développements limités et suites récurrentes · Suites récurrentes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 2}{2}$ . Exprimer $u_{n} - 2$ en fonction de $n$ , puis donner la limite.

Corrigé

L'écart au point fixe. Le point fixe vérifie $ℓ = \frac{ℓ + 2}{2}$ , soit $2 ℓ = ℓ + 2$ , donc $ℓ = 2$ . Posons $v_{n} = u_{n} - 2$ . Alors

$v_{n + 1} = u_{n + 1} - 2 = \frac{u _{n} + 2}{2} - 2 = \frac{u _{n} - 2}{2} = \frac{v _{n}}{2} .$

$(v_{n})$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ , avec $v_{0} = 1$ . Donc $v_{n} = (\frac{1}{2})^{n}$ , c'est-à-dire

$u_{n} = 2 + \frac{1}{2 ^{n}} .$

Limite. $u_{n} \to 2$ , et la suite est strictement décroissante.

Contrôle. $u_{0} = 2 + 1 = 3$ , ce qui est bien la valeur initiale ; et $u_{1} = 2 + \frac{1}{2} = 2, 5$ , tandis que la récurrence donne $(3 + 2) /2 = 2, 5$ . Les deux coïncident.

La méthode. Quand $f$ est affine, poser $v_{n} = u_{n} - ℓ$ transforme la récurrence en suite géométrique. C'est le seul cas où l'on obtient une formule explicite sans effort.

Énoncé

Corrigé

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