Une tangente, et de quel côté

Le développement. On reconnaît $(1+x{)}^{\alpha }$ avec $\alpha =-1$. Le coefficient d'ordre $2$ vaut $$\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}=\frac{(-1)\times (-2)}{2}=1,$$ donc $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+x^2\epsilon (x),\epsilon (x)\underset{x\to 0}{\to }0.$$

La tangente. D'après la formule de Taylor-Young, $a_0=f(0)=1$ et $a_1=f^{\prime }(0)=-1$ : la tangente en $0$ a pour équation $$y=1-x.$$

La position. Le coefficient $a_2=1$ est strictement positif. La différence entre le graphe et sa tangente vaut $$f(x)-(1-x)=x^2(1+\epsilon (x)),$$ produit de $x^2⩾0$ par une quantité qui tend vers $1>0$, donc strictement positive au voisinage de $0$ (sauf en $0$ où elle s'annule). Le graphe est au-dessus de sa tangente.

Contrôle numérique. En $x=0,1$ : $\frac{1}{1,1}\approx 0,909$, contre $1-0,1=0,9$ pour la tangente. C'est bien plus grand. Et en $x=-0,1$ : $\frac{1}{0,9}\approx 1,111$ contre $1,1$ : au-dessus des deux côtés, comme le prédit le carré.