Comparaison d'intégrales

Compléments sur les séries et intégrales généralisées · Comparaison et convergence absolue · niveau 2

Énoncé

Déterminer la nature de $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{2} + t}$ et de $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{3} + 1}$ .

Corrigé

Première. L'intégrande est positif et, en $+ \infty$ , $t^{2} + t \sim t^{2}$ , donc $\frac{1}{t ^{2} + t} \sim \frac{1}{t ^{2}}$ . Riemann avec $α = 2 > 1$ : converge.

Seconde. $t^{3} + 1 \sim t^{3/2}$ , donc l'intégrande est $\sim t^{- 3/2}$ . Riemann avec $α = \frac{3}{2} > 1$ : converge.

Attention à ne pas se tromper d'exposant. La racine divise l'exposant par $2$ : $t^{3} = t^{3/2}$ , et non $t^{3}$ . C'est l'erreur la plus fréquente, et elle change la conclusion dès que $\frac{α}{2}$ passe sous $1$ .

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