Convergence absolue

La fonction change de signe : les règles de comparaison des fonctions positives ne s'appliquent pas directement. On passe donc par la valeur absolue.

Majoration. $|\cos t|⩽1$, donc

$$|f(t)|=\frac{|\cos t|}{t^2}⩽\frac{1}{t^2}.$$

La fonction $t\mapsto \frac{1}{t^2}$ est positive et son intégrale converge sur $[1,+\infty [$ ($\alpha =2>1$). Par comparaison de fonctions positives, ${\int }_1^{+\infty }|f|$ converge.

Conclusion. ${\int }_1^{+\infty }f$ converge absolument, donc elle converge.

La marche à suivre. Devant une fonction qui change de signe, on ne compare jamais $f$ directement : on majore $|f|$ par une fonction positive dont on connaît l'intégrale. C'est exactement le raisonnement qui servira à établir l'existence d'une espérance au chapitre 11.