Deux intégrales avec un logarithme

La première, par calcul direct. L'intégrande est continu et positif sur $[1,+\infty [$. On reconnaît la forme $u^{\prime }u$ avec $u(t)=\ln t$ et $u^{\prime }(t)=\frac{1}{t}$, dont une primitive est $\frac{u^2}{2}$ : $${\int }_1^x\frac{\ln t}{t}\mathrm{d}t=[\frac{(\ln t{)}^2}{2}{]}_1^x=\frac{(\ln x{)}^2}{2},$$ le terme en $t=1$ étant nul. Quand $x\to +\infty$, $\ln x\to +\infty$ donc $\frac{(\ln x{)}^2}{2}\to +\infty$ : l'intégrale diverge.

La seconde, par comparaison. L'intégrande est continu et positif sur $[1,+\infty [$. Les croissances comparées donnent $\ln t=o(t^{1/2})$ quand $t\to +\infty$, donc $$\frac{\ln t}{t^3}=o\left(\frac{t^{1/2}}{t^3}\right)=o\left(\frac{1}{t^{5/2}}\right).$$ Or ${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^{5/2}}$ converge (Riemann, $\alpha =\frac{5}{2}>1$). Par la règle « $f=o(g)$ et $\int g$ converge », l'intégrale converge.

Sa valeur, par parties sur le segment. Avec $u=\ln t$ et $v^{\prime }=t^{-3}$, donc $v=-\frac{1}{2t^2}$ : $${\int }_1^x\frac{\ln t}{t^3}\mathrm{d}t=[-\frac{\ln t}{2t^2}{]}_1^x+{\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{2t^3}=-\frac{\ln x}{2x^2}+[-\frac{1}{4t^2}{]}_1^x=-\frac{\ln x}{2x^2}-\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{4},$$ qui tend vers $\frac{1}{4}$ par croissances comparées.

Ce que la comparaison des deux montre. Le logarithme est trop lent pour changer la nature d'une intégrale de Riemann : $\frac{\ln t}{t}$ diverge comme $\frac{1}{t}$, $\frac{\ln t}{t^3}$ converge comme $\frac{1}{t^3}$. Il ne fait basculer les choses qu'au cas frontière $\alpha =1$.