Deux intégrales que Riemann ne départage pas

Pourquoi la comparaison à Riemann est muette. Les deux intégrandes sont positifs et continus sur $[2,+\infty [$, mais aucun n'est équivalent à une puissance $t^{-\alpha }$ : pour tout $\alpha >1$ ils sont plus grands que $t^{-\alpha }$ à l'infini, et ils sont plus petits que $\frac{1}{t}$. Le critère de Riemann ne tranche donc rien. On cherche des primitives.

La première. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(-\frac{1}{\ln t}\right)=\frac{1/t}{(\ln t{)}^2}$, qui est exactement l'intégrande. Donc, sur $[2,x]$, $${\int }_2^x\frac{\mathrm{d}t}{t(\ln t{)}^2}=\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{\ln x}\underset{x\to +\infty }{\to }\frac{1}{\ln 2}.$$ Elle converge, et vaut $\frac{1}{\ln 2}\approx 1,4427$.

La seconde. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(2\sqrt{\ln t}\right)=\frac{1/t}{\sqrt{\ln t}}$. Donc $${\int }_2^x\frac{\mathrm{d}t}{t\sqrt{\ln t}}=2\sqrt{\ln x}-2\sqrt{\ln 2}\underset{x\to +\infty }{\to }+\infty .$$ Elle diverge.

La règle qui se dégage. ${\int }_2^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t(\ln t{)}^{\beta }}$ converge si et seulement si $\beta >1$ : la même frontière que Riemann, un cran plus fin.

Le point à retenir, et il est numérique. En $x=10^6$, la première vaut $1,370$ et la seconde $5,769$ — deux nombres du même ordre, alors que l'une converge et l'autre non. Une divergence en $\sqrt{\ln x}$ est invisible à l'écran : seule la primitive le dit.