Deux logarithmes, deux natures

Positivité. Pour tout $n⩾1$, $1+\frac{1}{n^2}>1$ et $1+\frac{1}{n}>1$, donc les deux termes généraux sont strictement positifs : les règles de comparaison s'appliquent.

Première série. L'équivalent usuel $\ln (1+x)\sim x$ en $0$, appliqué avec $x_n=\frac{1}{n^2}\to 0$, donne $$\ln (1+\frac{1}{n^2})\sim \frac{1}{n^2}.$$ Or $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (Riemann, $\alpha =2>1$). Deux séries à termes positifs de termes équivalents ayant même nature, la série converge.

Deuxième série, par l'équivalent. De même, $\ln (1+\frac{1}{n})\sim \frac{1}{n}$, terme général de la série harmonique qui diverge : la série diverge.

Deuxième série, par la somme partielle. Ce cas se traite aussi directement, et le calcul est instructif. Comme $\ln (1+\frac{1}{n})=\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)=\ln (n+1)-\ln (n)$, la somme est télescopique : $$S_N=\sum _{n=1}^N(\ln (n+1)-\ln n)=\ln (N+1)-\ln 1=\ln (N+1).$$ Chaque $\ln (k)$ intermédiaire apparaît une fois avec le signe $+$ et une fois avec le signe $-$ ; seuls survivent les termes des deux extrémités.

Conclusion. $S_N=\ln (N+1)\to +\infty$ : la série diverge, ce qui confirme le verdict de l'équivalent. Et l'on voit à quelle vitesse : les sommes partielles grandissent comme un logarithme, c'est-à-dire très lentement.