Deux séries à ne pas confondre

$\sum \frac{\ln n}{n}$ : diverge. Pour $n⩾3$, $\ln n⩾1$, donc $\frac{\ln n}{n}⩾\frac{1}{n}$. La série harmonique diverge, donc celle-ci aussi par comparaison de séries à termes positifs.

$\sum \frac{\ln n}{n^2}$ : converge. Par croissances comparées, $\ln n=o\left(n^{1/2}\right)$, donc

$$\frac{\ln n}{n^2}=o\left(\frac{n^{1/2}}{n^2}\right)=o\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right),$$

et $\sum n^{-3/2}$ converge ($\alpha =\frac{3}{2}>1$).

La méthode générale. Face à un $\ln n$, on le sacrifie : on le majore par une puissance aussi petite qu'on veut. Il reste alors une série de Riemann, dont on lit la nature. Le $\ln$ ne fait jamais basculer une série de Riemann d'un côté à l'autre, sauf exactement en $\alpha =1$.