Deux séries géométriques

Le critère. Une série géométrique $\sum q^n$ converge si et seulement si $|q|<1$, et sa somme à partir du rang $0$ vaut alors $\frac{1}{1-q}$.

Première somme. Ici $q=\frac{2}{3}$ et $|q|<1$ : la série converge, et $$\sum _{n=0}^{+\infty }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3.$$

Deuxième somme. Il s'agit de la même série privée de ses deux premiers termes, $n=0$ et $n=1$ : $$\sum _{n=2}^{+\infty }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n=3-{\left(\frac{2}{3}\right)}^0-{\left(\frac{2}{3}\right)}^1=3-1-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.$$ Retirer un nombre fini de termes ne change jamais la nature d'une série ; cela change en revanche sa somme, et il faut le faire explicitement.

Troisième série. Ici $q=\frac{3}{2}>1$. Le terme général ${\left(\frac{3}{2}\right)}^n$ tend vers $+\infty$, donc pas vers $0$ : la série diverge. (On peut aussi invoquer directement le critère $|q|<1$, qui n'est pas rempli.)

Contrôle numérique. $1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\frac{8}{27}\approx 2,41$, déjà proche de $3$ : la convergence d'une série géométrique est rapide.