L'encadrement de la somme harmonique

La fonction $t\mapsto \frac{1}{t}$ est positive et décroissante sur $[1,+\infty [$ : c'est elle qui porte les deux inégalités.

La minoration. Pour $n⩾1$ et $t\in [n,n+1]$, on a $t⩾n$, donc $\frac{1}{t}⩽\frac{1}{n}$. En intégrant sur cet intervalle de longueur $1$ : ${\int }_n^{n+1}\frac{\mathrm{d}t}{t}⩽\frac{1}{n}$. On somme de $n=1$ à $N$, et les intégrales se recollent par la relation de Chasles : $$\ln (N+1)={\int }_1^{N+1}\frac{\mathrm{d}t}{t}⩽\sum _{n=1}^N\frac{1}{n}.$$

La majoration. Pour $n⩾2$ et $t\in [n-1,n]$, on a $t⩽n$, donc $\frac{1}{n}⩽\frac{1}{t}$, d'où $\frac{1}{n}⩽{\int }_{n-1}^n\frac{\mathrm{d}t}{t}$. En sommant de $n=2$ à $N$, puis en ajoutant le terme $n=1$, qui vaut $1$ : $$\sum _{n=1}^N\frac{1}{n}⩽1+{\int }_1^N\frac{\mathrm{d}t}{t}=1+\ln N.$$

Ce qu'on en tire. $\ln (N+1)\to +\infty$, donc la somme aussi : la série harmonique diverge. Et l'encadrement dit mieux que la divergence : elle se produit exactement à la vitesse de $\ln N$, l'écart entre les deux bornes valant au plus $1$.

Contrôle numérique. Pour $N=1000$, la somme vaut $7,4855$, encadrée par $\ln 1001=6,9088$ et $1+\ln 1000=7,9078$.

Le point à retenir. Le terme $\frac{1}{n}$ est l'aire d'un rectangle de largeur $1$ ; on le coince entre l'aire sous la courbe à sa gauche et celle à sa droite. Toute série de terme décroissant se traite ainsi.