L'intégrale qui servira aux lois à densité

Ce qu'on emploie. L'intégrande $f(t)={\mathrm{e}}^{-t^2}$ est continu et strictement positif sur $[1,+\infty [$ : les règles de comparaison pour les fonctions positives s'appliquent. Aucune primitive de ${\mathrm{e}}^{-t^2}$ ne s'exprime avec les fonctions usuelles — il faut donc conclure sans calcul.

La majoration. Pour $t⩾1$, on a $t^2⩾t$ (multiplier $t⩾1$ par $t>0$), donc $-t^2⩽-t$. L'exponentielle étant croissante, $$0⩽{\mathrm{e}}^{-t^2}⩽{\mathrm{e}}^{-t}\text{pour tout }t⩾1.$$

L'intégrale majorante converge. Pour $x>1$, $${\int }_1^x{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-{\mathrm{e}}^{-t}{]}_1^x={\mathrm{e}}^{-1}-{\mathrm{e}}^{-x}\underset{x\to +\infty }{\to }{\mathrm{e}}^{-1}.$$ Donc ${\int }_1^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$ converge et vaut ${\mathrm{e}}^{-1}$.

Conclusion. Par la règle de comparaison $f⩽g$ avec $f$ et $g$ positives, l'intégrale ${\int }_1^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$ converge. On obtient au passage une majoration : $$0⩽{\int }_1^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t⩽{\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,368.$$

Où cela servira. C'est le comportement en $+\infty$ de la densité de la loi normale. La convergence de cette intégrale est ce qui permet d'affirmer qu'une telle densité définit bien une loi de probabilité.