Le cas frontière

Le calcul sur le segment. L'intégrande $t\mapsto \frac{1}{t}$ est continu et positif sur $[1,+\infty [$. Pour $x>1$, $${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t}=[\ln t{]}_1^x=\ln x-\ln 1=\ln x.$$

Le passage à la limite. Quand $x\to +\infty$, $\ln x\to +\infty$ : la limite n'est pas finie, donc l'intégrale diverge.

Le contraste avec l'intégrande. La fonction $t\mapsto \frac{1}{t}$ tend pourtant vers $0$ en $+\infty$. Cela n'entraîne rien : l'aire sous la courbe continue de grandir, simplement de plus en plus lentement. C'est le même phénomène que pour la série harmonique, qui diverge alors que $\frac{1}{n}\to 0$.

Le repère à retenir. L'exposant $\alpha =1$ est la frontière du critère de Riemann, et il est du côté de la divergence : $${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}\text{converge}⟺\alpha >1.$$ Pour $\alpha$ légèrement supérieur à $1$, disons $1,01$, l'intégrale converge et vaut $100$ ; pour $\alpha =1$ exactement, elle diverge. La bascule est brutale, et c'est pourquoi on ne peut jamais « voir » la nature sur un graphique ou sur un calcul numérique.